맨위로가기

최소 다항식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

최소 다항식은 체 K에 대한 멱결합 대수 A의 원소 a에 대해, a를 근으로 갖는 일계수 다항식 중 가장 낮은 차수를 갖는 다항식을 말한다. 최소 다항식은 항상 유일하며, 대수적 원소는 최소 다항식을 갖는다. 체의 확대에서 최소 다항식은 기약 다항식이며, 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대해 불변이다. 케일리-해밀턴 정리에 따라, 행렬의 최소 다항식은 특성 다항식을 나누며, 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 일치한다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 체론 - 분해체
    분해체는 체 K 위의 다항식 p(X)가 일차 인자의 곱으로 완전 인수분해되고 그 근들에 의해 K 위에서 생성되는 체 확대 L을 의미하며, 동형을 제외하고 유일하고 갈루아 군과 관련이 있다.
  • 체론 - 체 (수학)
    체는 사칙연산이 자유롭고, 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환으로, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 기본적인 역할을 하는 대수 구조이다.
  • 대수 - 미분 등급 대수
    미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다.
  • 대수 - C* 대수
    C* 대수는 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 결합한 복소수 벡터 공간으로, 겔판트-나이마르크 정리에 따라 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 선형 연산자 대수로 표현될 수 있으며, 함수해석학, 수리물리학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다.
  • 선형대수학 - 벡터 공간
    벡터 공간은 체 위의 가군으로 정의되는 대수적 구조로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 가지며 특정 공리들을 만족하고, 기저, 차원, 선형 사상 등의 개념을 통해 수학과 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.
  • 선형대수학 - 선형 결합
    선형 결합은 벡터 공간에서 벡터들의 스칼라 곱의 합으로 표현되는 식으로, 벡터 집합의 선형 독립성 판단 및 부분 공간 생성과 관련되며, 계수 제약을 통해 다양한 종류의 결합을 정의할 수 있고, 위상 벡터 공간이나 가군으로 일반화될 수 있다.
최소 다항식

2. 정의

체 K에 대한 멱결합 대수 A의 원소 a\in A에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의한다.

:\mathfrak J_a=\{p\in K[x]\colon p(a)=0\}

(만약 A가 1을 갖지 않는다면, \mathfrak J_a\subseteq(x)K[x]이다.) 그렇다면 \mathfrak J_a는 K[x]의 아이디얼이다. K[x]는 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.


  • \mathfrak J_a=(0)이다. 이 경우, a는 초월원이며, A는 초월 대수이다.
  • \mathfrak J_a=(p_a(x))가 되는 일계수 다항식 p_a(x)\in K[x]가 존재한다. 이 경우, p_a(x)를 a의 '''최소 다항식'''이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, \mathfrak J_a에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 p_a보다 차수가 더 크다.)

3. 성질

멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.[2]

3. 1. 체의 확대

체의 확대 L/K에 대하여, L은 가환 K-단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서, L/K에서 a\in L의 최소 다항식 p_a\in K[x]가 인수 분해가 가능하다면 (p_a=qr), K는 정역이므로 q(a)=0이거나 r(a)=0이며, \deg q,\deg r<\deg p이다. 그러나 p_a는 \mathfrak J_a의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

대수적 확대 L/K에서, K가 완전체라면 임의의 a\in L에 대하여 p_a(x)\in K[x]\subset\bar K[x]의 (대수적 폐포 \bar K에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 K가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 L/K가 '''분해 가능 확대'''가 아니라고 한다.

3. 2. 행렬

체 K 위의 n\times n 정사각 행렬의 유한 차원 K-단위 결합 대수 \operatorname{Mat}(n;K)에서, 임의의 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;K)은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 G\in\operatorname{GL}(n;K)에 대하여, M과 G^{-1}MG의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 L이 K를 포함하는 더 큰 체일 경우, M의 \operatorname{Mat}(n;K)에서의 최소 다항식과 \operatorname{Mat}(n;L)에서의 최소 다항식은 일치한다.

체 K 위의 n\times n 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;K)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • M의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.
  • M은 삼각화 가능 행렬이다.

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

케일리-해밀턴 정리에 따라, M\in\operatorname{Mat}(n;K)의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, M\in\operatorname{Mat}(n;K)의 최소 다항식의 소인수 분해가

:p_M(x)=\prod_pp^{n_p}(x)

라면,

:\deg p\mid\dim\ker p^{n_p}(M)

:n_p\le\dim\ker p^{n_p}(M)/\deg p

:\det(x-M)=\prod_{p}p^{\dim\ker p^{n_p}(M)/\deg p}

이다.[2]

4. 예

체의 확대 L/K에서, a\in K인 경우 a의 최소 다항식은 p_a(x)=x-a\in K[x]이다.[1]

실수 행렬

:M=

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 \\

0 & 2 & 0 \\


  • 2 & -2 & -1

\end{pmatrix}

\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)

의 특성 다항식은

:\det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)

이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, M의 최소 다항식 역시

:p_M(x)=(x+1)(x-1)(x-2)

이다.

4. 1. 복소수체

실수체의 확대인 복소수체 \mathbb C/\mathbb R에서, z\in\mathbb C의 최소 다항식은 다음과 같다.[1]

:p_z(x)=\begin{cases}

x-z&z\in\mathbb R\\

(x-z)(x-\bar z)=x^2-2(z+\bar z)x+z\bar z&z\in\mathbb C\setminus\mathbb R

\end{cases}

4. 2. 대수적 수체

이차 수체 \mathbb Q(\sqrt{d})/\mathbb Q에서, d가 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면 \sqrt d의 최소 다항식은 x^2-d\in\mathbb Q[x]이다.

\sqrt2+\sqrt3의 \mathbb Q 위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.

:p_{\sqrt2+\sqrt3}(x)= x^4-10x^2 + 1 = (x-\sqrt2-\sqrt3)(x+\sqrt2-\sqrt3)(x-\sqrt2+\sqrt3)(x+\sqrt2+\sqrt3)

원분체 \mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q에서, \zeta_n의 최소 다항식은 '''원분 다항식''' \Phi_n이라고 하며, 다음과 같다.

n\Phi_n(x)
1x - 1
2x + 1
3x^2 + x + 1
4x^2 + 1
5x^4 + x^3 + x^2 + x +1
6x^2 - x + 1
7x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
8x^4 + 1
9x^6 + x^3 + 1
10x^4 - x^3 + x^2 - x + 1



특히, n이 소수일 경우

:\Phi_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}

이다.

4. 3. 분해 가능 확대가 아닌 확대

분해 가능 확대가 아닌 체의 확대 (\mathbb F_p(x)[y]/(y^p-x))/\mathbb F_p(x)에서, y\in\mathbb F_p(x)[y]/(y^p-x)의 최소 다항식은 p_y(X)=X^p-x\in \mathbb F_p(x)[X]이다. 이 경우, \overline{\mathbb F_p(x)} 위에서 p_y(X)=(X^p-(\sqrt[p]x)^p)=(X-\sqrt[p]x)^p이다. 즉, p_y는 분해 가능 다항식이 아니다.

참조

[1] 저널 Minimal Polynomials and Radii of Elements in Finite-Dimensional Power-Associative Algebras https://www.ams.org/[...] 2007-08
[2] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com